Ecuación de renderizado de Kajiya

Contexto histórico e importancia

La ecuación de renderizado es una ecuación integral que expresa la cantidad de luz que abandona un punto de una superficie como la suma de la luz emitida y la luz reflejada. Fue introducida de forma independiente por David Immel et al. y James Kajiya en 1986.

Su trascendencia es enorme: antes de su formulación, los distintos algoritmos de renderizado (ray tracing, radiosity, etc.) se desarrollaban como técnicas ad hoc separadas. Una vez publicada esta formulación general, cada método existente pudo entenderse como una simplificación de esta única ecuación, adaptada a una situación particular.

Kajiya presentó una ecuación integral que generaliza una variedad de algoritmos de renderizado conocidos. En sus propias palabras, la idea subyacente no era nueva, pero la forma en que la presentó resultó especialmente adecuada para la Informática Gráfica.

La ecuación en su forma estándar

La ecuación de renderizado, en su formulación moderna más habitual, es:

$L_o(x, \omega_o) = L_e(x, \omega_o) + \int_{\Omega} L_o(y_i, -\omega_i) \; |N \cdot \omega_i| \; f_r(x, \omega_i, \omega_o) \; d\omega_i$

donde la integración se realiza sobre el hemisferio $\Omega$ de direcciones entrantes definido por la normal $N$ en el punto $x$.

La ecuación término a término

Lado izquierdo: $L_o(x, \omega_o)$ — Radiancia saliente

Es la cantidad que se desea calcular: la energía luminosa (radiancia, en $W \cdot m^{-2} \cdot sr^{-1}$, potencia radiante por unidad de área proyectada y por unidad de ángulo sólido) que abandona el punto $x$ de la superficie en la dirección $\omega_o$ (la dirección hacia el observador o cámara). La ecuación de renderizado define cuánta luz sale de cualquier punto de una escena 3D en una dirección dada.

Primer término del lado derecho: $L_e(x, \omega_o)$ — Luz emitida

Representa la luz que el propio material emite en la dirección $\omega_o$. Para la gran mayoría de los objetos de una escena (paredes, muebles, personajes, etc), este término es cero. Solo es distinto de cero para las fuentes de luz o materiales emisivos (como una pantalla o una llama).

El término integral: luz reflejada $L_r(x, \omega_o)$

Calcula toda la luz que llega al punto $x$ desde cualquier dirección del hemisferio superior y que es redirigida hacia $\omega_o$.

Factores de la integral:

1. $L_o(y_i, -\omega_i)$ — Radiancia entrante

   Miramos desde $x$ en la dirección $\omega_i$ y encontramos el punto de superficie $y_i$ que esa dirección alcanza; la luz saliente de $y_i$ a lo largo de $-\omega_i$ es la misma que la luz entrante a $x$ desde $\omega_i$. Esta luz saliente puede calcularse usando la ecuación completa de nuevo, de forma recursiva. Aquí reside la naturaleza recursiva de la ecuación: la luz que llega a un punto depende de la luz que sale de otros puntos, que a su vez depende de la que les llega a ellos.

2. $|N \cdot \omega_i| = |\cos\theta_i|$ — Término geométrico (coseno de Lambert)

   Este término suele llamarse el “término geométrico”. Físicamente, recoge el hecho de que una superficie iluminada en ángulo rasante recibe menos energía por unidad de área que una iluminada perpendicularmente (Ley de Lambert).

3. $f_r(x, \omega_i, \omega_o)$ — BRDF (Bidirectional Reflectance Distribution Function)

   La BRDF describe cuánta luz se refleja desde la dirección entrante $\omega_i$ a lo largo de la dirección saliente $\omega_o$. Determina cómo se distribuye la reflexión de la luz al incidir sobre una superficie: ¿es nítida y especular como un espejo, o más plana y difusa como el papel?

   Formalmente, la BRDF se define como el cociente diferencial entre la radiancia reflejada y la irradiancia incidente, y tiene unidades de $sr^{-1}$. Debe satisfacer tres propiedades fundamentales:

   • No negatividad: $f_r \geq 0$ (la luz no puede ser negativa).
   • Reciprocidad de Helmholtz: $f_r(x, \omega_i, \omega_o) = f_r(x, \omega_o, \omega_i)$. Se puede intercambiar la dirección entrante y la saliente sin cambiar el resultado.
   • Conservación de energía: la integral del coseno ponderado no puede superar 1 (una superficie no puede reflejar más energía de la que recibe).

   El modelo de reflexión de Phong es precisamente una aproximación empírica (no completamente correcta) a la BRDF.

Naturaleza matemática: ecuación de Fredholm de segundo tipo

La ecuación de renderizado es una ecuación integral de Fredholm de segundo tipo, el término desconocido $L_o$ aparece tanto en el lado izquierdo como dentro del integrando del lado derecho. Esta naturaleza recursiva es lo que hace que su resolución exacta sea intratable de forma analítica: la luz que sale de un punto depende de la luz que sale de todos los demás puntos de la escena, que a su vez dependen entre sí.

La integral se toma sobre el conjunto de todas las superficies de la escena. La ecuación no intenta modelar todos los fenómenos ópticos: es esencialmente una aproximación de óptica geométrica que solo modela el transporte de intensidad y no tiene en cuenta la fase, lo que excluye cualquier tratamiento de la difracción.

Por qué es intratable de forma exacta

La dificultad computacional fundamental reside en que:

1. La integral es sobre un espacio de dimensión infinita (todos los posibles caminos de luz en la escena).
2. El término $L_o(y_i, -\omega_i)$ dentro del integrando es a su vez la solución de otra instancia de la misma ecuación, generando una recursión teóricamente infinita.
3. La BRDF real de los materiales puede ser arbitrariamente compleja.

La solución práctica dominante desde los años 80 es la integración de Monte Carlo: en lugar de evaluar la integral analíticamente, se muestrean aleatoriamente direcciones $\omega_i$, se toman muestras de la función integranda, y se promedia. Con suficientes muestras, el estimador converge a la solución correcta.

Algoritmos de renderizado como aproximaciones a la ecuación

El valor unificador de la ecuación de Kajiya es que todos los grandes algoritmos de renderizado son aproximaciones controladas a ella:

Referencias

• Kajiya, James T. (1986). “The rendering equation”. In David C. Evans; RussellJ. Athay (eds.). SIGGRAPH ‘86. Proceedings of the 13th annual conference on Computer graphics and interactive techniques. pp. 143–150. doi:10.1145/15922.15902

• Immel, David S.; Cohen, Michael F.; Greenberg, Donald P. (1986). “A radiosity method for non-diffuse environments”. In David C. Evans; RussellJ. Athay (eds.). SIGGRAPH ‘86. Proceedings of the 13th annual conference on Computer graphics and interactive techniques. pp. 133–142. doi:10.1145/15922.15901